تابع را می‌توان به عنوان قاعده‌ای خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر A و B دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ A به مجموعهٔ B را می‌توان قاعده‌ای تعریف کرد که به هر عضو مجموعه A چون a، یک و فقط یک عضو از مجموعه B را چون f(a) نسبت می‌دهد. تابع f از مجموعه A به مجموعه B را با  نشان می‌دهیم.

شکل ۱. نمونه‌ای از یک تناظر که تابع نیست

شکل ۲. نمونه‌ای از یک تابع

برای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش دهنده یک تابع نمی‌باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعه X به دو عضو (b و c) از Y متناظر شده‌است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعه X به یک عضو خاص از Y نسبت داده شده‌اند.

تابع f به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضای A به B نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب (a,f(a)) برای هر مشخص می‌شود پس تابع f را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنها عضو A بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع f در Y است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابعf دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.

در این صورت در تابع  برای هر  گزاره  را به صورت b = f(a) نشان می‌دهیم.

تعریف دقیق 

یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y رابطه‌ای چون f از مجموعه X به مجموعه Y است که دارای شرایط زیر باشد:

1. دامنه f مجموعه X باشد، یعنی domf = X.
2. برای هر  عنصر یگانه  موجود باشد که (x,y)inf یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به f دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر  و  آنگاه الزاماً y = z.

علامت‌ها 

برای هر  یگانه عضو y در Y که به ازای آن  را با f(x) نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت‌گذاری، سایر علامت‌گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون  یا xfy را متروک ساخته‌است. از این پس اگر f یک تابع باشد، بجای  یا xfyمی‌نویسیمy = f(x). عضو y را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه x یا تصویر x تحت f می‌گوییم و نیز x را پیش نگاره y می‌گوییم.

اگر f تابعی از مجموعه X به (در یا به توی) مجموعه Y باشد، این مطلب را به صورت سه تایی (f,X,Y) یا به طور معمول تر برای توابع با نشان می‌دهیم.